Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови: 1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений; 2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним. Якщо не виконується перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ та b = ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами. Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x) має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку  EMBED Equation.3 
 називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування. 1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду). Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a < b < +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя  EMBED Equation.3 
 (51) її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:  EMBED Equation.3 
 (52) Таким чином, за означенням  EMBED Equation.3 
 (53) У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +∞). Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞). Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]:  EMBED Equation.3 
 (54) Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю  EMBED Equation.3 
 (55) де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с. З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування. Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).
рис. 7.12 Приклад. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: а)  EMBED Equation.3 
 б)  EMBED Equation.3 
 в)  EMBED Equation.3 
 д)  EMBED Equation.3 
 а) За формулою (53) маємо  EMBED Equation.3 
 Отже інтеграл а) збігається. б)  EMBED Equation.3 
 Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний. в)  EMBED Equation.3 
 Отже інтеграл в) розбіжний, г) Якщо  EMBED Equation.3 
 = 1, то  EMBED Equation.3 
 Якщо  EMBED Equation.3 
≠ 1, то  EMBED Equation.3 
 Отже інтеграл г) є збіжним при  EMBED Equation.3 
 > 1 і розбіжним при  EMBED Equation.3 
 ≤ 1. У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності. Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то із збіжності інтеграла  EMBED Equation.3 
 (56) випливає збіжність інтеграла  EMBED Equation.3 
 (57) а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56). Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.
Приклад Дослідити на збіжність інтеграли: а)  EMBED Equation.3 
;  EMBED Equation.3 
 а) Оскільки  EMBED Equation.3 ...